Lucky spins i roulette.

Lucky spins i roulette.

Roulette er et spill hvor forhandleren spinner et nummerert hjul som inneholder en marmor. Nar hjulet er avgjort, lander marmor pa noyaktig ett (vinnende) tall. Et standard amerikansk roulettehjul har 38 numre pa den. Spillere kan plassere spill pa et bestemt nummer, en farge (rod eller svart) eller en bestemt kvadrant pa hjulet.

Jeg var nylig i Las Vegas for en konferanse, og jeg la merke til at roulettbordene i konferansesystemet var utstyrt med skjermer som viser sanntidsstatistikk! En datamaskin holder oversikt over de vinnende tallene for de siste 300 spinnene og viser hvor ofte hvert nummer var en vinner (se bildet til hoyre). De to & # 8220; elite tallene & # 8221; var 12 og 27 (hver skjedde 13 ganger i de siste 300 spillene) og den «darlig utoveren» # 8221; var 0, som bare skjedde 2 ganger.

Selv om roulettehjulet er like sannsynlig a lande pa hvert nummer, vil det bli naturlige fluktuasjoner. Noen tall vil selvsagt vinne oftere enn andre i et uendelig antall spinn. Men hva slags avvik kan vi forvente? I bildet ovenfor var spredningen mellom de vanligste vinneren og minst vanlige vinner 13 til 2 i lopet av 300 spill. Er dette normalt? Med andre ord, hvor stort ville spredningen matte v re for du mistenkte at roulettehjulet var rigget og favoriserte noen tall over andre? La oss finne ut!

Resultater via simulering.

La oss anta at hjulet har $ n $ forskjellige tall pa det, som vi merker $ \ $, og vi snur det $ m $ ganger nar vi aggregerer var statistikk. Legg merke til at i selve roulette spillet, $ n = 38 $ og $ m = 300 $. Hvis spillet er rettferdig, sa er hvert tall like sannsynlig, og spinnene er gjensidig uavhengige. Med andre ord, ruller en 4 pa din forste spinn gjor ikke deg mer eller mindre sannsynlig a rulle et 4 eller et annet nummer pa etterfolgende spinn.

Denne typen spill er grei a simulere i Matlab. Jeg skrev kode som spiller 300 spill, teller hvor mange ganger de mest og minst hyppige tallene oppstar, og gjentar hele prosessen et stort antall ganger. Deretter plottet jeg et histogram som viser hvilken andel av tiden det hyppigste nummeret oppsto 10 ganger, 11 ganger, etc. Dette er kjent som empirisk fordeling. Her er resultatene av simuleringen (samlet over 100 millioner forsok).

Som vi ser, er et spredt fra 2 til 13 rett rundt det vi forventer! Selvfolgelig er utelukkere fortsatt mulige. For eksempel er det mulig for det heldigste nummeret a vinne 30 ganger ut av 300 spinn, men dette skjedde bare to ganger ut av 100.000.000 simulerte lop.

Analytiske resultater.

Rouletthjulet lander pa et av $ n $ tallene med like sannsynlighet. Vi utforer deretter $ m $ spinn og teller hvor mange ganger hvert tall oppstar. Hvis vi plasserer tallene i vektoren $ (x_1, \ prikker, x_n) $, hvor $ x_1 + \ prikker + x_n = m $, folger denne vektoren en multinomiell fordeling. Sannsynlighetsmassefunksjonen er derfor:

\] Den brakede termen kalles en multinomial koeffisient, og det teller antall mater vi kan snurre en & # 8220; $ 1 $ & # 8221; $ x_1 $ ganger, en & # 8220; $ 2 $ & # 8221; $ x_2 $ ganger, og sa videre. Dette tilsvarer ogsa antall mater a deponere $ m $ forskjellige objekter i $ n $ separate skuffer, med $ x_1 $ objekter i den forste bin, $ x_2 $ objekter i den andre bin, og sa videre. Den er ogsa lik $ \ frac $. I mellomtiden er $ n ^ m $ antall forskjellige mater vi kan snurre pa roulettehjulet $ m $ ganger.

Sannsynligheten for at det vanligste spinnet oppstar hoyst $ k $ ganger er:

\] Med andre ord ma vi summere alle tuples $ (x_1, \ dots, x_n) $ av nonnegative heltall som summen til $ m $, som hver ikke er storre enn $ k $. Dette er den kumulative fordelingsfunksjonen, og for a oppna sannsynligheten for at det hyppigste spinnet oppstar noyaktig $ k $ ganger (sannsynlighetsmassefunksjonen), beregner vi forskjellen:

\] Et lignende uttrykk kan oppnas for sannsynligheten for at den minst hyppige spinningen skjer noyaktig $ k $ ganger. Disse summene er upraktiske a beregne fordi de har et astronomisk antall vilkar. Vi ma ty til tiln rming!

I var multinomielle distribusjon har hver $ x_i $ middel $ \ frac $ og varians $ \ frac \ left (1 \ frac \ right) $. Vi vil gjore tiln rmingen at $ x_i $ er uavhengige binomiale tilfeldige variabler. Selvfolgelig er $ x_i $ ikke helt uavhengig siden de ma summen til $ m $, men $ n $ er stor nok til at dette er en god tiln rming. Vi kan derfor beregne fordelingen av maksimum ved a bruke den kumulative fordelingen:

\ end Denne summen er langt mer overkommelig, og vi kan beregne det noyaktig uten noen problemer. Nar vi har denne kumulative distribusjonen, beregner vi var tiln rming til $ q_ \ text (k) $ som for, ved a ta forskjellen pa suksessive kumulative summer. Resultatet er vist i plottet under.

Som vi kan se, er denne plottet sv rt n r det vi oppnadde via simulering. Sa binomial tiln rming er ganske bra! Det er fristende til a omtrentliggjore binomialfordelingen enda lenger som en normal fordeling, men det viser seg at denne tiln rmingen ikke er veldig bra. En tommelfingerregel for a se om vi skal bruke en normal fordeling, er a kontrollere om 3 standardavvik fra middelverdien holder oss innenfor rekkevidden av tillatte verdier, dvs. $ \ $. Dette betyr a sjekke, i vart tilfelle, at $ m> 9 (n-1) $. Siden $ n = 38 $ og $ m = 300 $ holder ulikheten seg ikke fordi hoyre side er $ 333 $.

Konklusjon.

A se et nummer oppstar 13 ganger mens en annen bare oppstar 2 ganger i lopet av de siste 300 spinnene, er ikke unormalt i det hele tatt. Faktisk er det veldig mye det du bor forvente! Sa tenk ikke pa sanntidsstatistikken som et middel for a hjelpe deg med a forutsi & # 8220; heldig & # 8221; eller & # 8220; uheldig & # 8221; tall & # 8230; tenk pa det som en mate a dobbeltsjekke at roulettehjulet er upartisk!


Hallo! Vil du spille i det mest heldige kasinoet? Vi forbereder det for deg. Klikk her nå!